Задача 5 (на доказательство). Докажите, что если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — квадрат.

Пусть диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). По условию \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Следовательно, диагонали делятся пополам, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.

В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником. Перпендикулярные диагонали параллелограмма означают, что он является ромбом.

Четырёхугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом, — квадрат: у него все стороны равны, а все углы прямые.

Что и требовалось доказать.