Задача 5 (на доказательство). Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — квадрат.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. По условию они делятся пополам: \(AO=OC\), \(BO=OD\). Значит, диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма равны, следовательно, ABCD — прямоугольник. Диагонали параллелограмма перпендикулярны, следовательно, ABCD — ромб.

Четырёхугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом, — квадрат. Следовательно, ABCD — квадрат.

Что и требовалось доказать.