Задача 7. Упростите выражение \(\left(\dfrac{3}{7}a^2bc^3\right)^2\cdot\dfrac{\left(2\dfrac{1}{3}a^4b\right)^3}{(a^2b)^5}\).

Преобразуем смешанное число: \(2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}\). Возведём множители в степени:

\(\left(\dfrac{3}{7}a^2bc^3\right)^2=\dfrac{9}{49}a^4b^2c^6\), а \(\left(\dfrac{7}{3}a^4b\right)^3=\dfrac{343}{27}a^{12}b^3\). Кроме того, \((a^2b)^5=a^{10}b^5\).

Перемножая и сокращая степени, получаем коэффициент \(\dfrac{9}{49}\cdot\dfrac{343}{27}=\dfrac{7}{3}\), показатель \(a\): \(4+12-10=6\), показатель \(b\): \(2+3-5=0\); множитель \(c^6\) остаётся.

Ответ: \(\dfrac{7}{3}a^6c^6\).