Задача 7. Упростите выражение \(\left(\frac{4}{9}ab^2c^4\right)^3\cdot\frac{\left(2\frac{1}{4}ac^3\right)^4}{(ac^3)^7}\).

Преобразуем смешанное число: \(2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\). Возводим множители в степени:

\(\left(\frac{4}{9}ab^2c^4\right)^3=\frac{4^3}{9^3}a^3b^6c^{12}\), \(\left(\frac{9}{4}ac^3\right)^4=\frac{9^4}{4^4}a^4c^{12}\), а \((ac^3)^7=a^7c^{21}\).

Коэффициент равен \(\frac{4^3}{9^3}\cdot\frac{9^4}{4^4}=\frac{9}{4}\). Показатели переменных после сокращения: \(a^{3+4-7}=1\), \(b^6\), \(c^{12+12-21}=c^3\).

Ответ: \(\frac{9}{4}b^6c^3\).