Задача 7. В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC) угол A равен 60°, BC = 8 см. Периметр трапеции равен 46 см. 1. Найдите остальные углы трапеции. 2. Найдите боковую сторону AB и основание AD. 3. Найдите отрезок, который отсекает на большем основании высота, проведённая из вершины B.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме дают 180°. Поэтому ∠D = ∠A = 60°, ∠B = ∠C = 120°.

2. Обозначим боковую сторону AB = CD = x. Проведённые из B и C высоты к большему основанию AD отсекают по краям равные отрезки. Их длины равны x cos 60° = x/2, поэтому AD − BC = x. Из периметра: AD + 8 + 2x = 46. Подставляя AD = 8 + x, получаем 16 + 3x = 46, откуда x = 10 см и AD = 18 см.

3. Высота из B отсекает на большем основании отрезок, равный проекции AB на AD: AB cos 60° = 10 · 1/2 = 5 см.

Ответ: 1) ∠B = 120°, ∠C = 120°, ∠D = 60°; 2) AB = 10 см, AD = 18 см; 3) отрезок равен 5 см.