ЗАДАЧА 8* (ФИПИ). Семиклассник Стас тренируется бегать на длинные дистанции. Во время пробежки смартфон следит за положением Стаса при помощи сигнала GPS и рассчитывает темп бега T в минутах на километр. После окончания пробежки смартфон показывает график зависимости темпа бега от расстояния s, которое пробежал спортсмен с момента старта (рис. 2). С помощью графика этой зависимости определите: 1) чему равнялись максимальная и минимальная скорости во время пробежки (выразите эти скорости в км/ч); 2) за какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в 1 км (участок может начинаться в любой точке дистанции); 3) за какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в 5 км (участок может начинаться в любой точке дистанции).

График показывает темп \(T\) в мин/км. Скорость в км/ч вычисляется по формуле \(v=60/T\). По графику наименьший темп равен 3 мин/км, наибольший — 6 мин/км.

1. Максимальная скорость соответствует минимальному темпу: \(60:3=20\) км/ч. Минимальная скорость соответствует максимальному темпу: \(60:6=10\) км/ч.

2. Чтобы минимизировать время на участке длиной 1 км, нужно выбрать участок с наименьшими значениями темпа. По графику это участок от \(s=3\) до \(s=4\) км: темп линейно возрастает от 3 до 4 мин/км. Средний темп на нём равен \((3+4)/2=3.5\) мин/км, поэтому время составляет 3,5 мин.

3. Для участка длиной 5 км минимальное суммарное время получается на отрезке от \(s=1\) до \(s=6\) км. Площади под графиком темпа на этом отрезке: от 1 до 2 км — \((5+4)/2\cdot1=4.5\) мин; от 2 до 3 км — \(4\) мин; от 3 до 5 км — \((3+5)/2\cdot2=8\) мин; от 5 до 6 км — \(5\) мин. Итого \(4.5+4+8+5=21.5\) мин. Сдвиг участка влево или вправо увеличивает время: при сдвиге влево заменяется часть с меньшим темпом на часть с большим, а при сдвиге вправо то же происходит после точки \(s=1\).

Ответ: 1) максимальная скорость — 20 км/ч, минимальная — 10 км/ч; 2) 3,5 мин; 3) 21,5 мин.