Задача 10: Найдите tg 2α, если sin α = \frac{\sqrt{17}}{9} и -π < α < -\frac{π}{2}.

Решение: Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{17}}{9} \) и \( -\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2} \). Нужно найти \( \tan 2\alpha \). Воспользуемся формулой \( \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \). Сначала найдем \( \cos \alpha \). Так как \( -\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2} \), \( \alpha \) находится в III четверти, где косинус отрицательный. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{17}}{9} \right)^2 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{17}{81} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{81 - 17}{81} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{64}{81} \) \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9} \) (знак минус, так как III четверть) Теперь найдем \( \tan \alpha \): \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{17}}{8} \) Теперь найдем \( \tan 2\alpha \): \( \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \left( -\frac{\sqrt{17}}{8} \right)}{1 - \left( -\frac{\sqrt{17}}{8} \right)^2} \) \( \tan 2\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} = -\frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = -\frac{16 \sqrt{17}}{47} \) Ответ: \(-\frac{16\sqrt{17}}{47}\)