Задача №6* В параллелограмме ABCD угол cos ABC = -0,6, AD=5, AC=√52.ите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

$$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

В нашем случае a = AD = 5. Необходимо найти AB и sin ∠ABC.

По теореме косинусов для треугольника ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$

Т.к. ABCD - параллелограмм, то BC = AD = 5.

$$52 = AB^2 + 5^2 - 2 \cdot AB \cdot 5 \cdot (-0.6)$$ $$52 = AB^2 + 25 + 6 \cdot AB$$ $$AB^2 + 6AB - 27 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$$ $$AB_1 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 + 12}{2} = 3$$ $$AB_2 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 - 12}{2} = -9$$

Т.к. длина стороны не может быть отрицательной, то AB = 3.

Найдем sin ∠ABC:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\sin^2 \angle ABC = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$$ $$\sin \angle ABC = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Теперь найдем площадь:

$$S = 5 \cdot 3 \cdot 0.8 = 15 \cdot 0.8 = 12$$

Ответ: 12