Задача 3: Ваня доходит от дома до школы за 30 минут, а его сестра Лена — за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

Пусть расстояние от дома до школы равно $$S$$. Скорость Вани: $$v_В = \frac{S}{30}$$ (расстояние в минуту). Скорость Лены: $$v_Л = \frac{S}{40}$$ (расстояние в минуту). Когда Ваня выйдет, Лена уже пройдет путь за 5 минут: $$S_Л = v_Л \cdot 5 = \frac{S}{40} \cdot 5 = \frac{5S}{40} = \frac{S}{8}$$. Пусть Ваня догонит Лену через $$t$$ минут после своего выхода. Тогда Ваня пройдет путь $$v_В \cdot t = \frac{S}{30}t$$. Лена пройдет путь $$v_Л \cdot t = \frac{S}{40}t$$, и этот путь плюс начальное расстояние составит путь Вани: $$\frac{S}{8} + \frac{S}{40}t = \frac{S}{30}t$$. Разделим обе части на $$S$$ (поскольку $$S
eq 0$$): $$\frac{1}{8} + \frac{1}{40}t = \frac{1}{30}t$$. $$\frac{1}{8} = \frac{1}{30}t - \frac{1}{40}t$$. $$\frac{1}{8} = t(\frac{1}{30} - \frac{1}{40}) = t(\frac{4}{120} - \frac{3}{120}) = t(\frac{1}{120})$$. $$t = \frac{1}{8} \cdot 120 = \frac{120}{8} = 15$$. Таким образом, Ваня догонит Лену через 15 минут после своего выхода. Ответ: 15 минут.