Задание 6. Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A, C, A_1, B_1, C_1$$.

Описанный многогранник - это четырехугольная пирамида с основанием $$A_1B_1C_1C$$ и вершиной в точке $$A$$. Объем этой пирамиды можно найти как разность между объемом призмы и объемом треугольной пирамиды $$ABA_1B_1C$$. Объем призмы равен: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$$ Объем пирамиды $$ABA_1B_1C$$ равен $$\frac{1}{3}S_{ABB_1A_1} \cdot AC = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} 8 \cdot 6 = 16$$. Тогда объем искомого многогранника равен $$48 - 16 = 32$$. Или можно рассмотреть четырехугольную пирамиду $$AA_1B_1C_1C$$. Площадь основания $$A_1B_1C_1C$$ можно найти как сумму площадей прямоугольника $$B_1C_1CB$$ и треугольника $$A_1B_1C_1$$. Площадь треугольника $$A_1B_1C_1$$ равна 8. Площадь прямоугольника $$B_1C_1CB$$ равна $$BC \cdot BB_1$$. Так как призма правильная, то $$BC = a$$. $$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 8$$, откуда $$a^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$$, $$a = \sqrt{\frac{32}{\sqrt{3}}}$$. Площадь прямоугольника $$BB_1C_1C$$ равна $$a \cdot 6$$. Тогда $$S_{B_1C_1CB} = 6\sqrt{\frac{32}{\sqrt{3}}} $$. $$V = \frac{1}{3}hS = \frac{1}{3} h (S_{бок} + S_{осн})$$ $$V = V_{призмы} - V_{пирамиды} = S_{осн}h - \frac{1}{3}S_{осн}h = 8 \cdot 6 - \frac{1}{3}8 \cdot 6 = 48 - 16 = 32$$ Ответ: 32