Задание 5: Дана равнобедренная трапеция с основаниями 5 см и 7 см, в которую вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC = 5 см и AD = 7 см, в которую вписана окружность. Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Поэтому 2AB = 5 + 7 = 12 см. Следовательно, AB = 6 см. Проведем высоты BE и CF. Тогда AE = (AD - BC) / 2 = (7 - 5) / 2 = 1 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора: $$BE^2 = AB^2 - AE^2 = 6^2 - 1^2 = 36 - 1 = 35$$ $$BE = \sqrt{35}$$ см Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} * BE = \frac{5 + 7}{2} * \sqrt{35} = 6 * \sqrt{35}$$ см$$^2$$ Ответ: $$6\sqrt{35}$$ см$$^2$$