Задание 4: Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 16см, и высотой, опущенной на это основание, равной 15см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 16 см и высотой BD = 15 см. Пусть O - центр вписанной окружности, а r - её радиус. Найдем боковую сторону AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$ $$AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$AB = \sqrt{289} = 17$$ см Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: 1) $$S = \frac{1}{2} * AC * BD = \frac{1}{2} * 16 * 15 = 8 * 15 = 120$$ см$$^2$$ 2) $$S = p * r$$, где p - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности. $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 17 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ см Следовательно, $$120 = 25 * r$$ $$r = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$$ см Ответ: 4.8 см