Задание 1: Дано: \(\angle A = \angle B\), CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) OB, б) AC, в) \(S_{AOC}\), \(S_{BOD}\).

Решение: а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. \(\angle A = \angle B\) (дано), \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\). Подставим известные значения: \(\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\). Отсюда, \(BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = 7.5\). б) Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}\). Следовательно, \(\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\), значит \(BD = \frac{3}{2}AC\). Также \(\frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO}\), откуда \(\frac{AC}{BD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Так как треугольники AOC и BOD подобны, то \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD} = \frac{AC}{BD}\). Тогда \(\frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\). Значит, \(AC/BD = 2/3\). Для нахождения AC требуется дополнительная информация, которая не указана в задаче, и нельзя однозначно найти AC. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\). Тогда \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\). Пусть \(S_{AOC} = 4x\), тогда \(S_{BOD} = 9x\).