Задание 4: В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Решение: Треугольники BOC и AOD подобны, так как BC||AD. Отношение их сторон равно \(\frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = (\frac{BC}{AD})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\). Подставим известное значение площади треугольника AOD: \(\frac{S_{BOC}}{45} = \frac{1}{9}\). Отсюда, \(S_{BOC} = \frac{45}{9} = 5\) см². Ответ: Площадь треугольника BOC равна 5 см².