Задание 5. Даны точки А(1,2,-3), B(0,-1,-2), C(2,-1,-4) 1. Постройте треугольник АВС 2. Найдите координаты векторов АВ, ВС, АС 3. Найдите длины сторон АB, BC, AC 4. Найдите скалярное произведение векторов АС и АВ, СА и СВ, ВС И ВА 5. Найдите углы треугольника АВС 6. Составить уравнения сторон треугольника

Решение задания 5:

1. Построение треугольника ABC:

      C(2,-1,-4)
     / \
    /   \
   /     \
  /       \
 A(1,2,-3)---B(0,-1,-2)

2. Координаты векторов:

• $$\vec{AB} = (0 - 1, -1 - 2, -2 - (-3)) = (-1, -3, 1)$$
• $$\vec{BC} = (2 - 0, -1 - (-1), -4 - (-2)) = (2, 0, -2)$$
• $$\vec{AC} = (2 - 1, -1 - 2, -4 - (-3)) = (1, -3, -1)$$

3. Длины сторон:

• $$|AB| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$$
• $$|BC| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
• $$|AC| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$$

4. Скалярные произведения:

• $$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (1, -3, -1) \cdot (-1, -3, 1) = 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = -1 + 9 - 1 = 7$$
• $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1, 3, 1) \cdot (-2, 0, 2) = (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2 + 0 + 2 = 4$$ (где $$\vec{CA}=-\vec{AC}$$ и $$\vec{CB}=-\vec{BC}$$)
• $$\vec{BC} \cdot \vec{BA} = (2, 0, -2) \cdot (1, 3, -1) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 2 + 0 + 2 = 4$$ (где $$\vec{BA}=-\vec{AB}$$)

5. Углы треугольника ABC:

Угол A:

$$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{7}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{7}{11}$$

$$A = \arccos(\frac{7}{11}) \approx 50.48^\circ$$

Угол C:

$$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|CA| \cdot |CB|} = \frac{4}{\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{22}}$$

$$C = \arccos(\frac{2}{\sqrt{22}}) \approx 66.15^\circ$$

Угол B:

$$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{4}{\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{22}}$$

$$B = \arccos(\frac{2}{\sqrt{22}}) \approx 66.15^\circ$$

6. Уравнения сторон треугольника:

• Сторона AB:

$$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z + 3}{1}$$

• Сторона BC:

$$\frac{x - 0}{2} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 2}{-2}$$

• Сторона AC:

$$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z + 3}{-1}$$

Ответ: 1) См. выше, 2) См. выше, 3) См. выше, 4) См. выше, 5) См. выше, 6) См. выше