Задание 9. Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает 0 баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Паша в двух партиях.

Давай построим ряд распределения и вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Паша в двух партиях.

1. Ряд распределения

Паша играет две партии. Возможные исходы по очкам: 0, 1, 2. Вероятность выигрыша \(p = 0.7\), вероятность проигрыша \(q = 1 - p = 0.3\).

• 0 очков: проиграл обе партии: \(P(X=0) = q \cdot q = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09\)
• 1 очко: выиграл одну партию, проиграл другую: \(P(X=1) = p \cdot q + q \cdot p = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.42\)
• 2 очка: выиграл обе партии: \(P(X=2) = p \cdot p = 0.7 \cdot 0.7 = 0.49\)

X	P
0	0.09
1	0.42
2	0.49

2. Математическое ожидание (E(X))

\[E(X) = \sum{x_i \cdot p_i}\] \[E(X) = (0 \cdot 0.09) + (1 \cdot 0.42) + (2 \cdot 0.49)\] \[E(X) = 0 + 0.42 + 0.98\] \[E(X) = 1.4\]

3. Дисперсия (D(X))

\[D(X) = \sum{(x_i - E(X))^2 \cdot p_i}\] \[D(X) = (0-1.4)^2 \cdot 0.09 + (1-1.4)^2 \cdot 0.42 + (2-1.4)^2 \cdot 0.49\] \[D(X) = (-1.4)^2 \cdot 0.09 + (-0.4)^2 \cdot 0.42 + (0.6)^2 \cdot 0.49\] \[D(X) = 1.96 \cdot 0.09 + 0.16 \cdot 0.42 + 0.36 \cdot 0.49\] \[D(X) = 0.1764 + 0.0672 + 0.1764\] \[D(X) = 0.42\]

4. Среднее квадратичное отклонение (σ(X))

\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\] \[\sigma(X) = \sqrt{0.42}\] \[\sigma(X) ≈ 0.6481\]

Ты молодец! У тебя всё получится!