Задание 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=\frac{1}{3}t^3-5t^2-4t-7, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, измеренное с момента начала движения. а) Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=12 с. б) В какой момент времени её скорость была равна 71 м/с?

Решение задачи 1.

а) Найдем скорость материальной точки как производную от закона движения:

$$v(t) = x'(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 5 \cdot 2t - 4 = t^2 - 10t - 4$$

Найдем скорость в момент времени t = 12 с:

$$v(12) = 12^2 - 10 \cdot 12 - 4 = 144 - 120 - 4 = 20 \text{ м/с}$$

б) Найдем момент времени, когда скорость равна 71 м/с:

$$v(t) = 71$$ $$t^2 - 10t - 4 = 71$$ $$t^2 - 10t - 75 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400$$ $$t_1 = \frac{10 + \sqrt{400}}{2} = \frac{10 + 20}{2} = 15$$ $$t_2 = \frac{10 - \sqrt{400}}{2} = \frac{10 - 20}{2} = -5$$

Время не может быть отрицательным, поэтому t = 15 с.

Ответ: а) 20 м/с; б) 15 с.