Задание 4: Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 10 см, и боковой стороной, равной 13 см.

Пусть a - основание равнобедренного треугольника, b - боковая сторона. Тогда a = 10 см, b = 13 см. Сначала найдем высоту h, проведенную к основанию:

Рассмотрим половину треугольника, образованную высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Площадь треугольника S:

$$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$

Полупериметр треугольника p:

$$p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 \cdot 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18$$

Радиус вписанной окружности r:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$$

Ответ: 10/3 см