Задание 1. Найти двугранный угол DABC тетраэдра DABC (рис. 1), если углы BCD и ACD прямые, АВ = ВС = АС = 4, BD = 2√7.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим, что такое двугранный угол. Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями. В данном случае, это угол между плоскостями BCD и ABC.
2. Шаг 2: Поскольку углы BCD и ACD прямые, то ребро CD перпендикулярно плоскости ABC. Значит, треугольник BCD — прямоугольный, и мы можем найти длину CD.
3. Шаг 3: Пусть угол между плоскостями ABC и BCD равен \( \alpha \). Тогда \( \cos(\alpha) = \frac{AC}{BD} \), так как AC и BD являются катетами в прямоугольных треугольниках ACD и BCD, соответственно.
4. Шаг 4: Подставляем известные значения: \( AC = 4 \) и \( BD = 2\sqrt{7} \). Получаем: \( \cos(\alpha) = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \).
5. Шаг 5: Чтобы найти угол \( \alpha \), вычислим арккосинус: \( \alpha = \arccos(\frac{2}{\sqrt{7}}) \).

Ответ: \( \arccos(\frac{2}{\sqrt{7}}) \)