Задание 5. В правильном тетраэдре DAВС (рис. 5) ребро равно 9. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС параллельно грани BDC. В ответе запишите результат, уменьшенный в √3 раз.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим, что сечение является треугольником, подобным грани BDC. Так как плоскость сечения проходит через центр грани ABC параллельно грани BDC, то сечение будет равносторонним треугольником со стороной, равной 1/3 стороны тетраэдра.
2. Шаг 2: Найдем площадь грани BDC (равностороннего треугольника) со стороной 9: \[ S_{BDC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \]
3. Шаг 3: Сторона сечения равна 1/3 от стороны тетраэдра, то есть 9/3 = 3. Площадь сечения (S_сеч) равна: \[ S_{сеч} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (a/3)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]
4. Шаг 4: Уменьшим полученный результат в \( \sqrt{3} \) раз: \[ \frac{S_{сеч}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{9}{4} = 2.25 \]

Ответ: 2.25