Задание 4: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы и площадь ее поверхности.

Решение: Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $$a = 4$$ и $$b = 6$$. Площадь основания $$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} * 4 * 6 = 12$$. Высота призмы (боковое ребро) $$h = 5$$. Объем призмы $$V = S_{осн} * h = 12 * 5 = 60$$. Гипотенуза треугольника: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = (a + b + c)h = (4 + 6 + 2\sqrt{13}) * 5 = 50 + 10\sqrt{13}$$. Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 50 + 10\sqrt{13} + 2 * 12 = 50 + 10\sqrt{13} + 24 = 74 + 10\sqrt{13}$$. **Ответ: Объем призмы равен 60, площадь поверхности $$74 + 10\sqrt{13}$$.**