Задание 11 (первая часть): В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C на стороне BC отметили точку E так, что ∠AEB = 120°. Найдите AB, если известно, что BE = 3, AC = √3.

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. Угол $$AEB$$ является внешним углом для треугольника $$AEC$$, поэтому $$\angle AEB = \angle ECA + \angle CAE$$, следовательно, $$\angle CAE = \angle AEB - \angle ECA = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AEC$$. Мы знаем, что $$AC = \sqrt{3}$$. Можем найти $$AE$$ с помощью косинуса угла $$CAE$$: $$\cos(\angle CAE) = \frac{AC}{AE}$$ $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{AE}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{AE}$$ $$AE = 2$$ Теперь рассмотрим треугольник $$ABE$$. Мы знаем $$AE = 2$$, $$BE = 3$$ и $$\angle AEB = 120^\circ$$. Используем теорему косинусов для нахождения $$AB$$: $$AB^2 = AE^2 + BE^2 - 2 \cdot AE \cdot BE \cdot \cos(\angle AEB)$$ $$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$$ $$AB^2 = 4 + 9 - 12 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$AB^2 = 13 + 6 = 19$$ $$AB = \sqrt{19}$$ Ответ: √19