Задание 11 (вторая часть): В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. Окружность радиусом 4 вписана в ромб и касается стороны AD в точке E. Найдите площадь ромба, если известно, что DE = 2.

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности, тогда $$r = 4$$. Пусть $$DE = 2$$. Так как окружность вписана в ромб и касается стороны $$AD$$ в точке $$E$$, то $$OE \perp AD$$. Также, $$OE = r = 4$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOE$$. По теореме Пифагора, $$OD^2 = OE^2 + DE^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$, следовательно, $$OD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, $$BD = 2 \cdot OD = 4\sqrt{5}$$. Пусть сторона ромба равна $$a$$. Площадь ромба можно выразить как $$S = a \cdot h$$, где $$h$$ - высота ромба, равная $$2r = 8$$. Также площадь ромба можно выразить через диагонали: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. В нашем случае, $$d_1 = BD = 4\sqrt{5}$$, и нам нужно найти $$d_2 = AC$$. В прямоугольном треугольнике $$AOD$$, $$AD^2 = AO^2 + OD^2$$, где $$AD = a$$. Также, $$AE = AD - DE = a - 2$$. Так как $$OE$$ - высота, опущенная из прямого угла в треугольнике $$AOD$$, то $$OE^2 = AE \cdot DE$$, то есть $$4^2 = (a-2) \cdot 2$$, следовательно, $$16 = 2a - 4$$, $$2a = 20$$, $$a = 10$$. Тогда площадь ромба $$S = a \cdot h = 10 \cdot 8 = 80$$. Ответ: 80