Задание 37. По данным чертежа найдите отношение S₁: S₂. 1) B S2 8 5 S A L Ответ:

Рассмотрим треугольник ABL.

Площадь треугольника ABL равна:

$$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot AL \cdot BL \cdot sin(\angle B) $$

Рассмотрим треугольник ABC.

Площадь треугольника ABC равна:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle B) = S_1 + S_2 $$

Выразим площадь $$S_2$$:

$$ S_2 = S - S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle B) - \frac{1}{2} \cdot AL \cdot BL \cdot sin(\angle B) $$

Вынесем общий множитель:

$$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot sin(\angle B) \cdot (AB \cdot BC - AL \cdot BL) $$

Найдем отношение площадей $$S_1$$ и $$S_2$$:

$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AL \cdot BL \cdot sin(\angle B)}{\frac{1}{2} \cdot sin(\angle B) \cdot (AB \cdot BC - AL \cdot BL)} = \frac{AL \cdot BL}{AB \cdot BC - AL \cdot BL} $$

По условию $$AL=5$$, $$BL=5$$, $$AB=5$$, $$BC=8$$.

Подставим значения в формулу:

$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 8 - 5 \cdot 5} = \frac{25}{40 - 25} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} $$

Отношение площадей $$S_1 : S_2 = 5 : 3$$

Ответ: 5:3