Задание 22. Постройте график функции \(\frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)}\) и определите, при каких значения с прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пошаговое решение:

1. Разложим числитель на множители:
   \[x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\]
2. Упростим функцию:
   \[y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x-3)(x+2)} = (x - 2)(x + 3)\] при условии, что x ≠ 3 и x ≠ -2.
3. Получаем функцию: y = (x - 2)(x + 3) = x² + x - 6. График - парабола.
4. Построим график параболы y = x² + x - 6 с выколотыми точками x = 3 и x = -2.
   Вершина параболы: x_в = -b / 2a = -1 / 2 = -0.5. y_в = (-0.5)² + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25.
5. Вычислим y при x = 3: y = 3² + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6. Выколотая точка (3; 6).
6. Вычислим y при x = -2: y = (-2)² + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4. Выколотая точка (-2; -4).
7. Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек.
8. Значения c: -6.25, -4, 6.

Ответ: c = -6.25, c = -4, c = 6