Задание 22: Постройте график функции (y = |x|(x + 1) - 2x) и определите, при каких значениях (m) прямая (y = m) имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию (y = |x|(x + 1) - 2x). 1. Если (x \geq 0), то (|x| = x), и функция принимает вид: (y = x(x + 1) - 2x = x^2 + x - 2x = x^2 - x) 2. Если (x < 0), то (|x| = -x), и функция принимает вид: (y = -x(x + 1) - 2x = -x^2 - x - 2x = -x^2 - 3x) Таким образом, функция имеет вид: [ y = egin{cases} x^2 - x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 3x, & x < 0 end{cases} ] Теперь нужно найти значения (m), при которых прямая (y = m) имеет с графиком ровно две общие точки. 1. Для (x \geq 0), (y = x^2 - x). Найдем вершину параболы: (x_v = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}), (y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}). 2. Для (x < 0), (y = -x^2 - 3x). Найдем вершину параболы: (x_v = \frac{-(-3)}{-2} = -\frac{3}{2}), (y_v = -(-\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4}). В точке (x=0) функция (y = x^2 - x) равна (y = 0), и функция (y = -x^2 - 3x) также равна (y = 0). Прямая (y = m) будет иметь ровно две общие точки с графиком, если: 1. (m = 0), так как в этой точке обе части графика встречаются. 2. (m = \frac{9}{4}), так как это вершина параболы для (x < 0). 3. (m = -\frac{1}{4}) - вершина параболы при (x \geq 0), но в таком случае существует только одна точка пересечения. Таким образом, значения (m), при которых прямая (y = m) имеет с графиком ровно две общие точки, это (m = 0) и (m = \frac{9}{4}). Ответ: 0 и \(\frac{9}{4}\)