Задание 24: В треугольнике KZC с тупым углом KCZ проведены высоты KK₁ и ZZ₁. Докажите, что треугольники K₁Z₁C и KZC подобны.

Рассмотрим треугольник KZC. Угол KCZ - тупой. KK₁ и ZZ₁ - высоты, проведенные к сторонам ZC и KC соответственно. Доказательство подобия треугольников K₁Z₁C и KZC: 1. Рассмотрим четырехугольник K₁ZZ₁K. Углы ZK₁K и Z₁ZK - прямые (так как KK₁ и ZZ₁ - высоты). Значит, сумма этих углов равна 180 градусам. Следовательно, вокруг четырехугольника K₁ZZ₁K можно описать окружность. 2. Углы Z₁K₁K и Z₁ZK опираются на одну и ту же дугу Z₁K, поэтому они равны: \(\angle Z_1K_1K = \angle Z_1ZK\) 3. Углы Z₁K₁C и KK₁C - смежные, значит, \(\angle Z_1K_1C = 180^\circ - \angle Z_1K_1K\). Аналогично, углы Z₁ZK и KZK равны, значит, \(\angle KZK = 180^\circ - \angle Z_1ZK\). Следовательно, \(\angle Z_1K_1C = \angle KZK \). 4. Рассмотрим углы Z₁CK₁ и ZCK. Они совпадают (общий угол). 5. Таким образом, треугольники K₁Z₁C и KZC подобны по двум углам: угол Z₁K₁C равен углу KZK, а угол Z₁CK₁ - общий. Что и требовалось доказать.