Задание 1: В прямоугольном треугольнике катет равен 12 дм, а противолежащий угол равен \(\beta\). Найдите второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника.

Решение: К сожалению, для решения этой задачи недостаточно информации. Нам известен только один катет и противолежащий угол \(\beta\). Чтобы найти второй катет и гипотенузу, нам нужно знать либо второй угол (например, если треугольник равнобедренный, или зная, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, и один из углов прямой), либо длину второго катета. Если бы была известна величина угла \(\beta\), мы могли бы использовать тригонометрические функции. Пусть \(a = 12\) дм - известный катет, \(\beta\) - противолежащий угол, \(b\) - второй катет, \(c\) - гипотенуза. Тогда, по определению тангенса: \( \tan(\beta) = \frac{a}{b} \) Отсюда, \( b = \frac{a}{\tan(\beta)} = \frac{12}{\tan(\beta)} \) А гипотенузу можно найти, используя теорему Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + \left(\frac{12}{\tan(\beta)}\right)^2} = 12 \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2(\beta)}} \) Без конкретного значения угла \(\beta\) мы не можем найти точные значения для \(b\) и \(c\). Пример: Если \(\beta = 45^\circ\), то \(\tan(45^\circ) = 1\), тогда \(b = \frac{12}{1} = 12\) дм. \(c = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \approx 16.97\) дм. **Ответ:** Второй катет: \( b = \frac{12}{\tan(\beta)} \) дм Гипотенуза: \( c = 12 \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2(\beta)}} \) дм При \(\beta = 45^\circ\): Второй катет: \( b = 12 \) дм Гипотенуза: \( c = 12\sqrt{2} \approx 16.97 \) дм