Задание 1. Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоит нуль. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 30 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?

За 30 ходов сумма чисел на доске увеличится на 30 · 3 = 90. Если бы наибольшее число было не больше 5, сумма всех 16 чисел была бы не больше 16 · 5 = 80. Значит, наибольшее число не меньше 6.

Покажем, что максимум 6 достижим. Сделаем ходы только горизонтальными полосами 1 × 3. В двух строках выберем каждую из четырёх возможных полос по два раза — всего 16 ходов; тогда каждую клетку этих строк увеличим на 6. В оставшихся двух строках выберем каждую полосу по одному разу — всего 8 ходов; каждое число в них станет не больше 6. Чтобы довести число ходов до 30, ещё 6 раз выберем полосу в первой строке, пропуская по очереди клетки: в результате в этой строке каждое число дополнительно увеличится на 4 или 5, что нарушило бы ограничение.

Такой план не даёт максимума 6; следовательно, нижняя оценка требует отдельной проверки, и приведённое распределение не доказывает достижимость. По одной лишь сумме и описанию ходов точный минимум здесь не установлен.

Ответ: не установлен.