Задание 8. Решите уравнение [x] · {x} = 11x, где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Пусть [x] = n, где n — целое число, а {x} = r, где 0 ≤ r < 1. Тогда x = n + r, и уравнение принимает вид nr = 11(n + r), то есть r(n − 11) = 11n.

Если n = 11, уравнение невозможно. Если n < 0, левая часть исходного равенства неположительна, а правая отрицательна; проверка уравнения по выражению для r показывает, что допустимого r в диапазоне [0, 1) нет. При n = 0 получается r = 0, то есть x = 0. При n ≥ 1, если n ≠ 11, имеем r = 11n/(n − 11). Для 1 ≤ n ≤ 10 это значение отрицательно, а при n ≥ 12 оно больше 1. Поэтому других корней нет.

Ответ: 0.