Задание №1. Дано неравенство \((2a-1)x^2-(8a-4)x+11a-8>0\). а) Левая часть является графиком квадратичной функции. Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы выполнялись условия неравенства? б) Каким числом, положительным или отрицательным, должен быть старший коэффициент, чтобы выполнялись условия неравенства? в) Учитывая знак старшего коэффициента, разделите обе части неравенства на старший коэффициент, выделите полный квадрат и запишите неравенство в виде \((x-x_0)^2+Z>0\). В ответе укажите \(Z\). г) Определите знак \(Z\), чтобы выполнялись условия неравенства. д) Укажите все значения \(a\), при которых выполняются условия неравенства.

Понимаем условие как требование, чтобы неравенство выполнялось при всех действительных \(x\).

1. Старший коэффициент равен \(2a-1\). Чтобы квадратичная функция была положительна при всех \(x\), ветви параболы должны быть направлены вверх, а её наименьшее значение — строго положительным.
2. Значит, старший коэффициент должен быть положительным: \(2a-1>0\).
3. Выделим полный квадрат: \((2a-1)x^2-(8a-4)x+11a-8=(2a-1)(x-2)^2+3a-4\). При \(2a-1>0\) делим неравенство на этот коэффициент: \((x-2)^2+\dfrac{3a-4}{2a-1}>0\). Следовательно, \(x_0=2\), \(Z=\dfrac{3a-4}{2a-1}\).
4. Чтобы выражение было положительным при всех \(x\), нужно \(Z>0\): квадрат может быть равен нулю при \(x=2\).
5. С учётом \(2a-1>0\), условие \(Z>0\) равносильно \(3a-4>0\), то есть \(a>\dfrac43\).

Ответ: а) вверх; б) положительным; в) \(Z=\dfrac{3a-4}{2a-1}\); г) \(Z>0\); д) \(a>\dfrac43\).