Задание №4. Дана функция \(y=6+\dfrac{1}{|x|+\dfrac{81}{|x|}}\). а) Найти множество допустимых значений. б) Найти максимальное значение функции. в) Напишите множество значений функции.

1. В знаменателе есть \(|x|\), поэтому \(x\ne0\). Область определения: \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
2. Положим \(t=|x|>0\). По неравенству средних арифметического и геометрического \(t+\dfrac{81}{t}\ge2\sqrt{81}=18\), причём равенство достигается при \(t=9\). Следовательно, дробь не превосходит \(\dfrac1{18}\), и наибольшее значение функции равно \(6+\dfrac1{18}=\dfrac{109}{18}\).
3. При \(t\) от 9 до бесконечности выражение \(t+\dfrac{81}{t}\) принимает все значения от 18 до бесконечности. Значит, обратная величина принимает значения \((0;\dfrac1{18}]\).

Ответ: а) \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\); б) \(\dfrac{109}{18}\); в) \((6;\dfrac{109}{18}]\).