Задание №1. Дано неравенство $(3a+5)x^2-(48a+80)x+193a+314>0$. а) Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы неравенство выполнялось при всех значениях $x$? б) Каким должен быть знак старшего коэффициента? в) Выделите полный квадрат и запишите неравенство в виде $(x-x_0)^2+z>0$. г) Определите знак $z$. д) Укажите все значения $a$, при которых неравенство выполняется при всех $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание №1. Дано неравенство $(3a+5)x^2-(48a+80)x+193a+314>0$. а) Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы…$ Фото задания

Задание №1. Дано неравенство $(3a+5)x^2-(48a+80)x+193a+314>0$. а) Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы неравенство выполнялось при всех значениях $x$? б) Каким должен быть знак старшего коэффициента? в) Выделите полный квадрат и запишите неравенство в виде $(x-x_0)^2+z>0$. г) Определите знак $z$. д) Укажите все значения $a$, при которых неравенство выполняется при всех $x$.

Accepted Answer

Чтобы квадратичная функция была положительной при всех $x$, парабола должна быть направлена ветвями вверх. Старший коэффициент должен быть положительным: $3a+5>0$.
Обозначим $A=3a+5$. Тогда $-48a-80=-16A$, поэтому после деления на $A>0$ получаем квадратный трёхчлен с линейным коэффициентом $-16$:
\[x^2-16x+\frac{193a+314}{3a+5}>0.\]
Выделяем полный квадрат:
\[(x-8)^2+\frac{193a+314}{3a+5}-64>0,\]
то есть $(x-8)^2+z>0$, где $x_0=8$ и
\[z=\frac{193a+314-64(3a+5)}{3a+5}=\frac{a-6}{3a+5}.\]
При $3a+5>0$ знаменатель $z$ положителен. Для строгого неравенства при всех $x$ нужно $z>0$, следовательно, $a>6$. При $z=0$ выражение обращается в ноль при $x=8$, что не подходит.

Ответ: а) ветви вверх; б) старший коэффициент положительный; в) $(x-8)^2+\frac{a-6}{3a+5}>0$; г) $z>0$; д) $a>6$.