Задание №4. Дана функция \(y=2+\frac{2}{|x|+\frac{36}{|x|}}\). а) Найдите множество допустимых значений. б) Найдите максимальное значение функции. в) Найдите множество значений функции.

1. В знаменателе есть \(|x|\), поэтому \(x\ne0\). При этих значениях знаменатель \(|x|+\frac{36}{|x|}\) положителен. Следовательно, область определения: \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\).
2. Положим \(t=|x|>0\). По неравенству средних \(t+\frac{36}{t}\ge 2\sqrt{36}=12\), причём равенство достигается при \(t=6\). Поэтому
   \[y=2+\frac{2}{t+36/t}\le 2+\frac{2}{12}=\frac{13}{6}.\]
3. При \(t=6\) функция достигает максимума \(\frac{13}{6}\). Когда \(t\) неограниченно возрастает или стремится к нулю, дробь стремится к нулю, но остаётся положительной. Значение 2 не достигается.

Ответ: а) \(\mathbb R\setminus\{0\}\); б) \(\frac{13}{6}\); в) \((2;\frac{13}{6}]\).