Задание №1. Дано неравенство \((4a+4)x^2-(-32a-32)x+66a+59>0\). а) Левая часть является графиком квадратичной функции. Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы выполнялись условия неравенства? б) Каким числом, положительным или отрицательным, должен быть старший коэффициент, чтобы выполнялись условия неравенства? в) Учитывая знак старшего коэффициента, разделите обе части неравенства на старший коэффициент, выделите полный квадрат и запишите неравенство в виде \((x-x_0)^2+z>0\). В ответе укажите \(z\). г) Определите знак \(z\) для того, чтобы выполнялись условия неравенства. д) Укажите все значения \(a\), при которых выполняются условия неравенства.

Чтобы неравенство выполнялось при любом действительном \(x\), парабола должна целиком располагаться выше оси абсцисс.

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, поэтому старший коэффициент должен быть положительным: \(4a+4>0\).
2. Делим на положительный старший коэффициент и выделяем полный квадрат: \[x^2+8x+\frac{66a+59}{4a+4}>0,\qquad (x+4)^2+\frac{2a-5}{4(a+1)}>0.\] Следовательно, \(z=\frac{2a-5}{4(a+1)}\).
3. Минимум \((x+4)^2\) равен нулю, поэтому для строгого неравенства при всех \(x\) необходимо и достаточно \(z>0\).
4. С учётом \(a>-1\), знаменатель \(4(a+1)\) положителен. Значит, \(z>0\) тогда и только тогда, когда \(2a-5>0\), то есть \(a>\frac52\).

Ответ: ветви направлены вверх; старший коэффициент положительный; \(z=\frac{2a-5}{4(a+1)}\), требуется \(z>0\); \(a>\frac52\).