Задание №4. \(y=5+\frac{5}{|x|+\frac{64}{|x|}}\). а) Найти множество допустимых значений. б) Найти максимальное значение функции. в) Напишите множество значений функции.

1. В знаменателе присутствует \(|x|\), поэтому необходимо \(|x|\ne0\). Множество допустимых значений: \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\).
2. Положим \(t=|x|>0\). По неравенству между средним арифметическим и геометрическим: \(t+\frac{64}{t}\ge2\sqrt{64}=16\), равенство достигается при \(t=8\). Поэтому дробь не превосходит \(\frac5{16}\), и максимум функции равен \(5+\frac5{16}=\frac{85}{16}\).
3. При \(t>0\) выражение \(t+64/t\) принимает значения от 16 до бесконечности. Следовательно, дробь принимает значения из интервала \((0,5/16]\).

Ответ: а) \(\mathbb R\setminus\{0\}\); б) \(\frac{85}{16}\); в) \((5,\frac{85}{16}]\).