Задание №1. Дано неравенство (4a+4)x² − (−32a−32)x + 66a+59 > 0. а) Левая часть является графиком квадратичной функции. Куда должны быть направлены ветви параболы, чтобы выполнялись условия неравенства? б) Каким числом, положительным или отрицательным, должен быть старший коэффициент, чтобы выполнялись условия неравенства? в) Учитывая знак старшего коэффициента, разделите обе части неравенства на старший коэффициент, выделите полный квадрат и запишите неравенство в виде (x−x₀)²+Z > 0. В ответе укажите Z. г) Определите знак Z для того, чтобы выполнялись условия неравенства. д) Укажите все значения a, при которых выполняются условия неравенства.

Рассматриваем требование так, как следует из подпунктов: неравенство должно выполняться при всех действительных x.

1. Для положительности квадратичной функции при всех x ветви параболы должны быть направлены вверх.
2. Значит, старший коэффициент должен быть положительным: 4a+4>0.
3. Старший коэффициент равен 4(a+1), линейный коэффициент — 32(a+1). Делим на положительный старший коэффициент и выделяем полный квадрат:
   \(x^2+8x+\frac{66a+59}{4(a+1)}>0\)
   \((x+4)^2+\frac{2a-5}{4(a+1)}>0\).
   Следовательно, \(x_0=-4\), \(Z=\frac{2a-5}{4(a+1)}\).
4. Так как \((x+4)^2\) обращается в ноль при x=−4, для строгой положительности при всех x необходимо и достаточно, чтобы \(Z>0\).
5. Совместно требуются \(a>-1\) и \(\frac{2a-5}{4(a+1)}>0\). При a>−1 знаменатель положителен, поэтому 2a−5>0, то есть a>\(\frac52\). При этих значениях исходное неравенство действительно строго положительно для всех x.

Ответ: а) вверх; б) положительным; в) \(Z=\frac{2a-5}{4(a+1)}\); г) \(Z>0\); д) \(a>\frac52\).