Задание №4. Дана функция y = 5 + 5/(|x| + 64/|x|). а) Найти множество допустимых значений. б) Найти максимальное значение функции. в) Напишите множество значений функции.

1. В знаменателе есть \(|x|\), поэтому \(x\ne0\). При любом таком x знаменатель \(|x|+\frac{64}{|x|}\) положителен. Область определения: \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
2. Обозначим \(t=|x|\), тогда t>0. По неравенству между средним арифметическим и геометрическим:
   \(t+\frac{64}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot\frac{64}{t}}=16\).
   Значит, \(\frac{5}{t+64/t}\le\frac5{16}\), причём равенство достигается при t=8, то есть при \(|x|=8\). Следовательно, максимум функции равен \(5+\frac5{16}=\frac{85}{16}\).
3. Добавка к 5 всегда положительна и не превосходит \(\frac5{16}\). Нижнее значение 5 не достигается, а верхнее достигается.

Ответ: а) \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\); б) \(\frac{85}{16}\); в) \(\left(5,\frac{85}{16}\right]\).