Задание 1. Найдите область определения функции y = \(\sqrt{4x^2 + 5x + 1}\).

Решение:

Область определения функции \( y = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} \) находится при условии, что выражение под корнем неотрицательно:

\[ 4x^2 + 5x + 1 ≥ 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 + 5x + 1 = 0 \):

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 · 4 · 1 = 25 - 16 = 9 \]

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 · 4} = \frac{-5 + 3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 · 4} = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Парабола \( y = 4x^2 + 5x + 1 \) ветвями вверх. Таким образом, неравенство \( 4x^2 + 5x + 1 ≥ 0 \) выполняется при \( x ≤ -1 \) или \( x ≥ -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( x ≤ -1 \) или \( x ≥ -\frac{1}{4} \).