Задание 10. Найдите значение выражения: 1 1/(2+√3) + 1/(2-√3) 2 1/(5+√23) + 1/(5-√23) 3 1/(6+√35) + 1/(6-√35) 4 1/(4+√15) + 1/(4-√15)

Для решения этих примеров будем использовать формулу разности квадратов: (a-b)(a+b) = a² - b². Приведем дроби к общему знаменателю.

1. \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4 \]

2. \[ \frac{1}{5+\sqrt{23}} + \frac{1}{5-\sqrt{23}} = \frac{(5-\sqrt{23}) + (5+\sqrt{23})}{(5+\sqrt{23})(5-\sqrt{23})} = \frac{5-\sqrt{23}+5+\sqrt{23}}{5^2 - (\sqrt{23})^2} = \frac{10}{25-23} = \frac{10}{2} = 5 \]

3. \[ \frac{1}{6+\sqrt{35}} + \frac{1}{6-\sqrt{35}} = \frac{(6-\sqrt{35}) + (6+\sqrt{35})}{(6+\sqrt{35})(6-\sqrt{35})} = \frac{6-\sqrt{35}+6+\sqrt{35}}{6^2 - (\sqrt{35})^2} = \frac{12}{36-35} = \frac{12}{1} = 12 \]

4. \[ \frac{1}{4+\sqrt{15}} + \frac{1}{4-\sqrt{15}} = \frac{(4-\sqrt{15}) + (4+\sqrt{15})}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})} = \frac{4-\sqrt{15}+4+\sqrt{15}}{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{8}{16-15} = \frac{8}{1} = 8 \]

Ответ: 1) 4; 2) 5; 3) 12; 4) 8.