Задание 10. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А провели медиану А М = 7. Найдите длину гипотенузы и величину угла В, если \(\angle BMA = 120^{\circ}\)

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2. По условию \( AM = 7 \) см.
3. Так как AM — медиана, то \( AM = BM = CM = \frac{1}{2} BC \).
4. Следовательно, гипотенуза \( BC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см} \).
5. Рассмотрим треугольник \( \triangle AMB \). \( AM = BM = 7 \) см. Это равнобедренный треугольник.
6. Угол \( \angle BMA = 120^{\circ} \) — угол при вершине равнобедренного треугольника.
7. Углы при основании \( \angle MAB \) и \( \angle MBA \) равны.
8. \( \angle MBA = \frac{180^{\circ} - \angle BMA}{2} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
9. Угол \( B \) в треугольнике \( ABC \) — это \( \angle MBA \).

Ответ: Длина гипотенузы равна 14 см, величина угла В равна 30°.