Задание 8. Две прямые а и в параллельны, с и d - секущие. Найдите чему равен угол 3, если \(\angle 1 = 38^{\circ}\), \(\angle 2 = 102^{\circ}\).

Решение:

Прямые \( a \) и \( b \) параллельны.

Угол \( 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( d \). Следовательно, они равны. Но \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) не накрест лежащие.

Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 2 \). Обозначим его \( \angle 2' \).

\( \angle 2' = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Угол \( 1 \) и \( \angle 2' \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( d \). Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \). Однако \( 38^{\circ} + 78^{\circ} = 116^{\circ} \), что не равно \( 180^{\circ} \).

Пересмотрим условие.

Угол \( 1 \) и угол, который находится под прямой \( a \) и слева от секущей \( c \) (обозначим его \( \alpha \)), являются накрест лежащими. Так как \( a \parallel b \), то \( \alpha = \angle 1 = 38^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и угол \( \alpha \) являются вертикальными. Следовательно, \( \angle 3 = \alpha = 38^{\circ} \).

Также, угол \( 2 \) и угол, находящийся под прямой \( a \) и справа от секущей \( c \) (обозначим его \( \beta \)), являются соответственными. Следовательно, \( \beta = \angle 2 = 102^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и угол \( \beta \) являются смежными. Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \).

\( \angle 3 + \beta = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 + 102^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Видим противоречие. Проверим условие еще раз.

Угол \( 1 \) и угол, который находится под прямой \( a \) и слева от секущей \( c \) (обозначим его \( \alpha \)), являются накрест лежащими. Следовательно \( \alpha = 38^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и \( \alpha \) — вертикальные. Значит \( \angle 3 = 38^{\circ} \).

Угол \( 2 \) и угол, который находится под прямой \( a \) и справа от секущей \( c \) (обозначим его \( \gamma \)), являются соответственными. Следовательно \( \gamma = 102^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и \( \gamma \) являются смежными. \( \angle 3 + \gamma = 180^{\circ} \).

\( 38^{\circ} + 102^{\circ} = 140^{\circ} \). Это не \( 180^{\circ} \).

Давайте предположим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются смежными.

Угол \( 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \) (находящийся слева от секущей \( c \) под прямой \( a \)), являются накрест лежащими, поэтому они равны \( 38^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и этот угол являются смежными, значит \( \angle 3 = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).

Угол \( 2 \) и угол, находящийся справа от секущей \( c \) под прямой \( b \) (обозначим его \( \delta \)), являются соответственными, то есть \( \delta = 102^{\circ} \).

Рассмотрим секущую \( c \). Угол \( 3 \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами относительно секущей \( c \) и параллельных прямых \( a \) и \( b \). Но они не накрест лежащие.

Угол \( 1 \) и угол, находящийся под прямой \( a \) и слева от секущей \( c \), являются накрест лежащими. Значит, этот угол равен \( 38^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и этот угол являются смежными. Следовательно, \( \angle 3 = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).

Угол \( 2 \) и угол \( 3 \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \). Однако, \( \angle 2 = 102^{\circ} \). Если \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) односторонние, то \( \angle 3 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Давайте будем считать, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) находятся на одной стороне от секущей \( c \). \( \angle 1 = 38^{\circ} \) (верхний левый). \( \angle 2 = 102^{\circ} \) (верхний правый).

Угол \( 3 \) является вертикальным к углу, находящемуся под прямой \( a \) и слева от секущей \( c \). Этот угол и \( \angle 1 \) являются односторонними, их сумма \( 180^{\circ} \). Значит, угол под \( a \) равен \( 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \). Угол \( 3 \) равен \( 142^{\circ} \).

Но \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, если секущая \( c \) пересекает \( a \) и \( b \). Однако, \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) не накрест лежащие.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие при секущей \( c \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \). Но \( \angle 2 \) здесь не участвует.

Рассмотрим другую интерпретацию. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие при секущей \( c \). Тогда \( \angle 3 = 38^{\circ} \). \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — смежные. \( \angle 3 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — односторонние, то \( \angle 3 = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).

Предположим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы при секущей \( c \). Тогда \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( 102^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( \angle 3 = 78^{\circ} \).

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — углы, образованные секущей \( c \) с прямой \( a \), а \( \angle 3 \) — угол, образованный секущей \( c \) с прямой \( b \).

Угол \( 1 = 38^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \). Угол, вертикальный к \( \angle 1 \), равен \( 38^{\circ} \). Угол, вертикальный к смежному с \( \angle 1 \), равен \( 142^{\circ} \).

Угол \( 2 = 102^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \). Угол, вертикальный к \( \angle 2 \), равен \( 102^{\circ} \).

Угол \( 3 \) и \( \angle 2 \) являются односторонними углами при секущей \( c \) и параллельных прямых \( a \) и \( b \). Следовательно, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 + 102^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 = 180^{\circ} - 102^{\circ} \)

\( \angle 3 = 78^{\circ} \).

Ответ: 78.