Задание 10. Высота цилиндра равна 8, а радиус основания 14. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 10 от неё.

Решение:

Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает его по прямоугольнику. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( h = 8 \).

Другая сторона прямоугольника — это хорда основания, проведенная на расстоянии 10 от центра основания.

Рассмотрим основание цилиндра — круг радиусом \( R = 14 \). Проведем хорду \( AB \) на расстоянии \( d = 10 \) от центра \( O \).

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом \( OA \), расстоянием от центра до хорды \( OD \) и половиной хорды \( AD \), имеем:

\[ AD^2 = OA^2 - OD^2 \]\[ AD^2 = 14^2 - 10^2 = 196 - 100 = 96 \]\[ AD = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6} \]

Длина хорды \( AB = 2 \times AD = 2 \times 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6} \).

Площадь сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон:

\[ S_{\text{сечения}} = h \times AB = 8 \times 8\sqrt{6} = 64\sqrt{6} \]

Ответ: \( 64\sqrt{6} \).