Задание 4. Найдите корень уравнения: \( \sqrt{\frac{5}{7+4x}} = \frac{1}{9} \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ \left( \sqrt{\frac{5}{7+4x}} \right)^2 = \left( \frac{1}{9} \right)^2 \] \[ \frac{5}{7+4x} = \frac{1}{81} \]
2. Приведём к общему знаменателю или применим свойство пропорции (перекрёстное умножение): \[ 5 \cdot 81 = 1 \cdot (7+4x) \] \[ 405 = 7 + 4x \]
3. Вычтем 7 из обеих частей уравнения: \[ 405 - 7 = 4x \] \[ 398 = 4x \]
4. Разделим обе части на 4, чтобы найти \( x \): \[ x = \frac{398}{4} \] \[ x = 99.5 \]
5. Проверим условие подкоренного выражения: \( 7 + 4x > 0 \). \( 7 + 4 \cdot 99.5 = 7 + 398 = 405 > 0 \).

Ответ: 99.5.