[Задание 15.2] В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠С = 51° и ВМ = АМ = MC.

1. Так как ВМ = АМ = MC, то точка М является центром описанной окружности, а АС - диаметр. Углы ∠АВМ и ∠СВМ вписаны в окружность и опираются на диаметр, значит, ∠АВМ = ∠СВМ = 90°.

2. В треугольнике ВСМ: ∠СВМ = 90°, ∠С = 51°, следовательно, ∠ВМС = 180° - 90° - 51° = 39°.

3. Угол ∠АМВ является смежным к углу ∠ВМС, поэтому ∠АМВ = 180° - 39° = 141°.

4. В треугольнике АВМ: ∠АВМ = 90°, ∠АМВ = 141°. Сумма углов в треугольнике не может превышать 180°, что указывает на некорректность условия задачи или рисунка. Предполагая, что ∠АВМ = 90° неверно, и ∠АВМ является частью ∠ABC.

5. Если ВМ = АМ = МС, то треугольники АВМ и СВМ являются равнобедренными. В треугольнике ВСМ: ∠СВМ = ∠С = 51°, следовательно, ∠ВМС = 180° - (51° + 51°) = 78°.

6. Угол ∠АМВ = 180° - 78° = 102°. В треугольнике АВМ: ∠АМВ = 102°, ∠А = ∠АВМ. Так как ВМ = АМ, то ∠А = ∠АВМ. Угол ∠АВМ = ∠А. Угол ∠ВМС = 78°. В треугольнике АВМ: ∠А + ∠АВМ + ∠АМВ = 180°. ∠А + ∠А + 102° = 180°. 2∠А = 78°. ∠А = 39°.