[Задание 16.3] Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Диагональ АС = 16, значит, ОС = 8.

2. В прямоугольном треугольнике ВОС: tg ∠BCA = OB / OC. Следовательно, OB = OC * tg ∠BCA = 8 * 0,75 = 6.

3. Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 6 = 12.

4. Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (16 * 12) / 2 = 96.

5. Радиус вписанной окружности r = (2S) / P, где P - периметр ромба. Сторона ромба BC = √(OB² + OC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Периметр P = 4 * 10 = 40.

6. Радиус r = (2 * 96) / 40 = 192 / 40 = 4,8.