Задание 174. На рисунке 101 \(OC=OD\), \(OB=OE\). Докажите, что \(AB=EF\). Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче.

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(FOE\). Прямые \(AF\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), поэтому \(\angle AOB=\angle FOE\) как вертикальные углы.

По условию \(OB=OE\), \(OC=OD\). Так как точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой, а точки \(D,E,F\) — на другой, из равенств соответствующих отрезков следует равенство углов при пересечении этих прямых; следовательно, треугольники \(AOB\) и \(FOE\) равны по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда соответствующие стороны равны:

\[AB=EF.\]

Для измерения ширины озера на одном берегу отмечают отрезок \(AB\), который невозможно измерить непосредственно. Затем выбирают точку \(O\), отмечают на продолжении линии точки \(C\) и \(D\) так, чтобы \(OC=OD\), и точку \(E\) так, чтобы \(OB=OE\). На противоположном берегу проводят линию через \(D\) и \(E\), пересекающую продолжение \(AO\) в точке \(F\). Измеряют доступный отрезок \(EF\); по доказанному равенству получаем \(AB=EF\).

Ответ: ширина озера равна измеренному отрезку \(EF\).