Задание 2. Найдите неопределённый интеграл: 1) ∫(sin x+cos x)² dx; 2) ∫4/(3x−1)² dx; 3) ∫3sin 2x dx; 4) ∫(4−5x)⁷ dx; 5) ∫(2/cos²(3x+1)−3sin(4−x)+2x) dx; 6) ∫(1−cos 3x+2sin(π/3−x)) dx.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем тождество \((\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\): \(\int(1+\sin 2x)\,dx=x-\frac{1}{2}\cos 2x+C\).
Подстановка \(u=3x-1\), поэтому \(dx=du/3\): \(\int\frac{4}{(3x-1)^2}\,dx=\frac{4}{3}\int u^{-2}\,du=-\frac{4}{3u}+C=-\frac{4}{3(3x-1)}+C\).
\(\int3\sin 2x\,dx=-\frac{3}{2}\cos 2x+C\).
Подстановка \(u=4-5x\), \(du=-5dx\): \(\int(4-5x)^7\,dx=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C\).
Интегрируем слагаемые, используя производные тангенса и косинуса: \(\int\left(2\sec^2(3x+1)-3\sin(4-x)+2x\right)dx=\frac{2}{3}\tan(3x+1)-3\cos(4-x)+x^2+C\).
Интегрируем каждое слагаемое: \(\int\left(1-\cos 3x+2\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right)dx=x-\frac{1}{3}\sin 3x+2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+C\).

Ответ: