Задание 4. Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями: а) y=3−x, x=0, y=0; б) y=x+1, y=0, x=0.

1. а) Прямая пересекает ось Ox при \(3-x=0\), то есть при \(x=3\). Радиус вращения равен \(3-x\), а пределы интегрирования — от 0 до 3.
   Формула объёма тел вращения: \(V=\pi\int_a^b y^2\,dx\).
   \(V=\pi\int_0^3(3-x)^2\,dx=\pi\left[-\frac{(3-x)^3}{3}\right]_0^3=9\pi\).
2. б) Прямая пересекает ось Ox при \(x=-1\); область лежит при \(-1\le x\le0\).
   \(V=\pi\int_{-1}^0(x+1)^2\,dx=\pi\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^0=\frac{\pi}{3}\).

Ответ: а) \(9\pi\); б) \(\frac{\pi}{3}\).