Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x², x=1, x=3, y=0; б) y=x², y=x+3.

1. а) На отрезке \([1,3]\) верхняя граница — \(y=x^2\), нижняя — \(y=0\).
   \(S=\int_1^3(x^2-0)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\).
2. б) Находим точки пересечения: \(x^2=x+3\), поэтому \(x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\). Между ними прямая \(y=x+3\) расположена выше параболы \(y=x^2\).
   \(S=\int_{(1-\sqrt{13})/2}^{(1+\sqrt{13})/2}(x+3-x^2)\,dx\).
   Подынтегральная функция — парабола с корнями, расстояние между которыми равно \(\sqrt{13}\); площадь между ней и осью на этом промежутке равна \((\sqrt{13})^3/6\). Следовательно, \(S=\frac{13\sqrt{13}}{6}\).

Ответ: а) \(\frac{26}{3}\); б) \(\frac{13\sqrt{13}}{6}\).